是否还需要做遗嘱公证，是否无效？根据合同约定，买房人承担房屋买卖税费

各位律师好！01年，父亲去世，最近，母亲也去世了，需要处理房产，遇到这些问题，请各位老师给个确切答案哦，多谢多谢，再拖我就违约啦！ 我父母都去世后，留下一套房产并有一份遗嘱（父亲写），清楚写明留给他四个女儿，现在房产证上是父亲一人的名字，根据父亲遗嘱我们没有任何争议，想把房子卖掉。现已与买房人签订买卖合同，卖方人为已逝父亲的名字，代理人为我的名字（女儿）。现有以下疑问，请帮忙解答：1、有纸质遗嘱原件，是否还需要做遗嘱公证，如需要，费用如何计算？2、是否需要将房产先过户到4个女儿的名下，再过户给买方？如需要，那么现在签订的买卖合同是否无效？（卖房人改变了）3、根据合同约定，买房人承担房屋买卖税费，那么遗产转移之间产生的费用将由谁承担？